Tutorial lakaran Root Locus dalam Sistem Kawalan

Lakaran Root Locus (disebut juga londar punca) dalam Kejuruteraan Kawalan  adalah sangat penting untuk analisis kestabilan . Root Locus membantu kami memetakan secara grafik bagi semua kemungkinan lokasi pole(kutub) dalam sistem pada satah-s. Lokasi pole yang berbeza diperolehi di bawah kesan perubahan gandaan (gandaan kadaran). Kaedah grafik ini membantu mengkaji bagaimana pole sistem berubah dengan variasi parameter sistem tertentu, biasanya gandaann dalam sistem suapbalik.

Kita  boleh membuat persamaan ciri iaitu 1+GH =0 dan cari K. Daripada persamaan ciri, dapatkan persilangan dengan paksi jω dengan kriteria Routh-Hurwitz. Ia akan memberi anda gandaan maksimum. Atau cari persilangan dengan paksi real (letakkan s=0) ia akan memberi anda gandaan tanpa tindak balas berayun. Ini dapat menunjukkan sistem dalam keadaan stabil.

Pembinaan Root Locus secara ringkas

Peraturan 1 − Cari kutub gelung terbuka dan sifar dalam satah 's'.

Peraturan 2 − Cari bilangan cabang Root Locus

Peraturan 3 − Kenal pasti dan lukis cabang Root Locus paksi real.

Peraturan 4 − Cari centroid dan sudut asimptot.

Jom kita design Root Locus secara terperinci.

Ikuti peraturan ini untuk membina Root Locus:

Peraturan 1 − Cari kutub gelung terbuka dan sifar dalam satah ‘s’.

Peraturan 2 − Cari bilangan cabang Root Locus.

Kita tahu bahawa cabang Root Locus bermula pada kutub gelung terbuka dan berakhir pada sifar gelung terbuka. Jadi, bilangan cabang Root Locus N adalah sama dengan bilangan kutub gelung terbuka terhingga P atau bilangan sifar gelung terbuka terhingga Z, yang mana lebih besar.

Secara matematik, kita boleh menulis bilangan cabang Root Locus N sebagai

Peraturan 3 − Kenal pasti dan lukis cabang Root Locus paksi sebenar.

Jika sudut transfer function (rangkap pindah) gelung terbuka pada satu titik ialah gandaan ganjil daripada1800, maka titik itu berada pada  Root Locus. Jika nombor ganjil kutub gelung terbuka dan sifar wujud di sebelah kiri titik pada paksi nyata, maka titik itu berada pada cabang Root Locus. Oleh itu, cabang titik yang memenuhi syarat ini ialah paksi sebenar cabang Root Locus.

Peraturan 4 − Cari centroid dan sudut asimtot.

Jika P=Z, maka semua cabang Root Locus bermula pada  pole gelung terbuka terhingga dan berakhir pada zero gelung terbuka terhingga.

Jika P>Z , maka bilangan Z cabang Root Locus bermula pada  pole gelung terbuka terhingga dan berakhir pada zero gelung terbuka terhingga dan nombor P−Z cabang Root Locus bermula pada pole gelung terbuka terhingga dan berakhir pada zero gelung terbuka tak terhingga.

Jika P<Z , maka bilangan P cabang Root Locus bermula pada  pole gelung terbuka terhingga dan berakhir pada zero gelung terbuka terhingga dan nombor Z−P cabang Root Locus bermula pada pole gelung terbuka tak terhingga dan berakhir pada zero gelung terbuka terhingga.

Jadi, beberapa cabang Root Locus menghampiri ketakterhinggaan, apabila P≠Z. Asimtot memberikan arah cabang Root Locus ini. Titik persilangan asimtot pada paksi sebenar dikenali sebagai centroid.

Kita boleh mengira centroid α dengan menggunakan formula ini,

Formula untuk sudut asimtot θ ialah:

Peraturan 5 − Cari titik persilangan cabang Root Locus dengan paksi khayalan.

Kita boleh mengira titik di mana cabang Root Locus bersilang dengan paksi imaginary dan nilai K pada titik itu dengan menggunakan kaedah tatasusunan Routh dan kes khas (ii).

Jika semua elemen mana-mana baris tatasusunan Routh adalah sifar, maka cabang Root Locus bersilang dengan paksi imaginary dan sebaliknya.

Kenal pasti baris dengan cara yang jika kita menjadikan elemen pertama sebagai sifar, maka unsur-unsur keseluruhan baris adalah sifar. Cari nilai K bagi gabungan ini.

Gantikan nilai K ini dalam auxiliary equation. Anda akan mendapat titik persilangan cabang Root Locus dengan paksi khayalan.

Peraturan 6 − Cari  titik break-away dan break-in.

Jika wujud cabang Root Locus paksi sebenar antara dua pole gelung terbuka, maka akan ada titik break-away di antara dua pole  gelung terbuka ini.

Jika wujud cabang Root Locus paksi sebenar antara dua zero gelung terbuka, maka akan terdapat titik break-away di antara dua zero gelung terbuka ini.

Nota − Titik break-away dan break-in hanya wujud pada cabang Root Locus paksi real.

Ikuti langkah ini untuk mencari titik break-away dan break-in.

• Tulis K dalam sebutan s daripada persamaan ciri 1+G(s)H(s)=0.
• Bezakan K berkenaan dengan s dan jadikan ia sama dengan sifar. Gantikan nilai s ini dalam persamaan di atas.
• Nilai s yang mana nilai K adalah positif ialah titik break-away.

Peraturan 7 − Cari sudut berlepas dan sudut tiba (angle of departure and the angle of arrival).

Sudut berlepas dan sudut ketibaan boleh dikira pada pole gelung terbuka konjugat kompleks dan zero gelung terbuka konjugat kompleks masing-masing.

Formula untuk angle of departure ϕd ialah

ϕd=1800−ϕ

Formula untuk angle of arrival ϕa ialah

ϕa=1800+ϕ

di mana

ϕ=∑ϕP−∑ϕZ

Contoh

Mari kita lukis lokus punca sistem kawalan yang mempunyai transfer function (rangkap pindah) gelung buka, G(s)H(s)=Ks(s+1)(s+5)

Langkah 1 − Transfer function (rangkap pindah) gelung buka yang diberikan mempunyai tiga poles pada s=0,s=−1 dan s=−5. Ia tidak mempunyai sebarang zero. Oleh itu, bilangan cabang Root Locus adalah sama dengan bilangan kutub transfer function (rangkap pindah) gelung buka.

N=P=3

Rajah 1

Tiga poles terletak ditunjukkan dalam rajah di atas. Segmen garis antara s=−1 dan s=0 ialah satu cabang Root Locus  pada paksi nyata. Dan cabang lain Root Locus  pada paksi nyata ialah segmen garis di sebelah kiri s=−5.

Langkah 2 − Kita akan mendapat nilai centroid dan sudut asimtot dengan menggunakan formula yang diberikan.

Centroid α=−2

Sudut asimtot ialah θ=60,180 dan 300.

Centroid dan tiga asimtot ditunjukkan dalam rajah berikut.

Rajah 2

Langkah 3 − Oleh kerana dua asimtot mempunyai sudut 60 dan 300, dua cabang Root Locus bersilang dengan paksi imaginary. Dengan menggunakan kaedah tatasusunan Routh dan kes khas(ii), cabang Root Locus bersilang dengan paksi imaginary pada j5–√ dan −j5–√.

Akan ada satu titik  break-away pada cabang Root Locus paksi sebenar antara kutub s=−1 dan s=0. Dengan mengikuti prosedur yang diberikan untuk pengiraan titik break-away, kita akan mendapatnya sebagai s=−0.473.

Rajah Root Locus bagi sistem kawalan yang diberikan ditunjukkan dalam rajah berikut.

Rajah 3

Dengan cara ini, anda boleh melukis rajah Root Locus bagi mana-mana sistem kawalan dan memerhati pergerakan pole bagi transfer function (rangkap pindah) gelung tutup.

Daripada rajah Root Locus, kita boleh mengetahui julat nilai K untuk jenis redaman  δ yang berbeza.

Kesan Menambah Pole Gelung Terbuka dan Zero pada Root Locus

Root Locus boleh dianjak dalam satah 's' dengan menambah pole gelung buka dan zero gelung buka.

• Jika kita memasukkan pole dalam transfer function (rangkap pindah) gelung buka, maka beberapa cabang Root Locus akan bergerak ke arah separuh kanan satah 's'. Disebabkan ini, nisbah redaman δ berkurangan. Yang bermaksud, kekerapan ωd yang dilembapkan meningkat dan spesifikasi domain masa seperti masa lengah td, masa naik tr dan masa puncak tp berkurangan. Tetapi, ia menjejaskan kestabilan sistem.

• Jika kita memasukkan zero dalam transfer function (rangkap pindah) gelung buka, maka beberapa cabang Root Locus akan bergerak ke arah separuh kiri satah 's'. Jadi, ia akan meningkatkan kestabilan sistem kawalan. Dalam kes ini, nisbah redaman δ meningkat. Yang bermaksud, kekerapan terlembap ωd berkurangan dan spesifikasi domain masa seperti masa lengah td, masa naik tr dan masa puncak tp meningkat.

Jadi, berdasarkan keperluan, kita boleh memasukkan (menambah)  pole gelung buka atau zero pada transfer function (rangkap pindah).

Titik Break-away: Titik di mana Root Locus meninggalkan paksi real.

Titik Break-in: Titik di mana Root Locus memasuki paksi real.

Rujukan

https://www.tutorialspoint.com/control_systems/control_systems_construction_root_locus.htm