Tuesday 14 December 2021

Pengenalan: Reka Bentuk Pengawal Root Locus

 Poles (Kutub) bagi  Gelung-tutup

Root Locus bagi rangkap pindah (transfer function) (gelung buka) H(s) ialah plot kedudukan (lokus) semua kemungkinan kutub gelung tutup dengan beberapa parameter, selalunya gandaan kadaran K, diubah antara 0 dan infiniti. Rajah di bawah menunjukkan seni bina suapbalik unity, tetapi prosedurnya adalah sama untuk mana-mana rangkap pindah (transfer function) gelung buka H(s), walaupun beberapa elemen rangkap pindah (transfer function) gelung buka berada dalam laluan suapbalik.




Rangkap pindah (transfer function) gelung tutup ialah:




dan dengan itu kutub sistem gelung tutup ialah nilai s sedemikian, 



Jika kita menulis H(s) = b(s)/a(s), maka persamaan ini boleh ditulis semula sebagai:



Biarkan n ialah susunan a (s) dan m ialah susunan b (s) (urutan polinomial sepadan dengan kuasa tertinggi bagi s).

Kita akan mempertimbangkan semua nilai positif K . Dalam had sebagai K--> 0 , kutub sistem gelung tutup ialah penyelesaian a (s) = 0 kutub H (s) ). Dalam had sebagai K--> infty, kutub sistem gelung tutup ialah penyelesaian b (s) = 0 (sifar H (s) ).

Tidak kira apa pilihan K, sistem gelung tutup mempunyai n kutub, dengan n ialah bilangan kutub  rangkap pindah (transfer function) gelung buka H(s). Root Locus kemudiannya mempunyai n cabang, setiap cabang bermula pada kutub H(s) dan menghampiri sifar H(s). Jika H(s) mempunyai lebih banyak kutub daripada sifar (seperti yang selalu berlaku), m < n dan kita katakan bahawa H(s) mempunyai sifar pada ketakterhinggaan. Dalam kes ini, had H(s) sebagai s --> infiniti ialah sifar. Bilangan sifar pada infiniti ialah n-m, bilangan kutub gelung terbuka tolak bilangan sifar gelung buka, dan ialah bilangan cawangan root locus yang menuju ke "infiniti" (asimtot).

Memandangkan root locus terdiri daripada lokasi semua kutub gelung tutup yang mungkin, root locus membantu kita memilih nilai perolehan K untuk mencapai jenis prestasi yang kita inginkan. Jika mana-mana kutub yang dipilih berada pada satah kompleks separuh kanan, sistem gelung tutup akan menjadi tidak stabil. Kutub yang paling hampir dengan paksi khayalan mempunyai pengaruh yang paling besar pada tindak balas gelung tutup, jadi walaupun sistem mempunyai tiga atau empat kutub, ia mungkin masih berkelakuan serupa dengan sistem tertib kedua atau pertama, bergantung pada lokasi kutub dominan.

Memplot Root Locus bagi rangkap pindah (transfer function)


Pertimbangkan sistem gelung terbuka yang mempunyai rangkap pindah (transfer function)



Bagaimanakah kita mereka bentuk pengawal suapbalik untuk sistem menggunakan kaedah root-locus? Katakan kriteria reka bentuk kami ialah 5% overshoot dan 1 saat rise time. Buat fail m bertajuk rl.m. Dalam fail ini, cipta model rangkap pindah (transfer function)  dan gunakan arahan rlocus seperti berikut:



Memilih Nilai K daripada Root Locus


Plot di atas menunjukkan semua kemungkinan lokasi kutub gelung tutup untuk pengawal kadaran tulen. Dalam kes ini, tidak semua lokasi kutub gelung tutup ini memenuhi terhadap kriteria reka bentuk kita. Untuk menentukan bahagian lokus yang boleh diterima, kita boleh menggunakan perintah sgrid(zeta,wn) untuk memplot garis nisbah redaman malar dan frekuensi semula jadi. Dua hujahnya ialah nisbah redaman (damping ratio ($\zeta$) ) dan frekuensi semula jadi (natural frequency ($\omega_n$)) [ini mungkin vektor jika anda ingin melihat julat nilai yang boleh diterima]. Dalam masalah ini, kita memerlukan overshoot kurang daripada 5% (yang bermaksud nisbah redaman (damping ratio ($\zeta$) ) lebih besar daripada 0.7) dan rise time 1 saat (yang bermaksud frekuensi semula jadi (natural frequency ($\omega_n$)) lebih daripada 1.8). Masukkan yang berikut dalam window arahan MATLAB:



Pada plot di atas, dua garis putus-putus pada sudut 45 darjah menunjukkan lokasi kutub dengan   $\zeta$ = 0.7;  di antara garisan ini, kutub akan mempunyai   $\zeta$  > 0.7 dan di luar garisan ini   $\zeta$  < 0.7. Separuh bulatan menunjukkan lokasi kutub dengan frekuensi semula jadi (natural frequency $\omega_n$ = 1.8); di dalam bulatan,  $\omega_n$ < 1.8 dan di luar bulatan  $\omega_n$  > 1.8.

Berbalik kepada masalah kita, untuk membuat overshoot kurang daripada 5%, kutub perlu berada di antara dua garis putus-putus bersudut, dan untuk menjadikan rise time lebih pendek daripada 1 saat, kutub perlu berada di luar separuh bulatan bertitik. Jadi sekarang kita tahu bahagian mana Root Locus
, yang mungkin lokasi kutub gelung tutup, memenuhi keperluan yang diberikan. Semua kutub di lokasi ini berada di satah separuh kiri, jadi sistem gelung tutup akan stabil.

Daripada plot di atas kita melihat bahawa terdapat sebahagian daripada Root Locus di dalam kawasan yang dikehendaki. Oleh itu, dalam kes ini, kita hanya memerlukan pengawal kadaran untuk memindahkan kutub ke kawasan yang dikehendaki. Anda boleh menggunakan arahan rlocfind dalam MATLAB untuk memilih kutub yang dikehendaki pada lokus:

[k, kutub] = rlocfind(sys)

Klik pada plot titik di mana anda mahu kutub gelung tertutup berada. Anda mungkin mahu memilih titik yang ditunjukkan dalam plot di bawah untuk memenuhi kriteria reka bentuk.



Ambil perhatian bahawa memandangkan Root Locus mungkin mempunyai lebih daripada satu cabang, apabila anda memilih kutub, anda juga mengenal pasti di mana kutub gelung tutup lain juga, semuanya untuk nilai sepadan yang sama iaitu K. Ingat bahawa kutub ini akan menjejaskan response juga. Daripada plot di atas, kita melihat bahawa daripada empat kutub yang dipilih (ditunjukkan oleh tanda "+"), dua yang paling hampir dengan paksi khayalan berada di kawasan yang kita inginkan. Memandangkan kutub ini cenderung untuk mendominasi response, kami mempunyai sedikit keyakinan bahawa keperluan yang diingini akan dipenuhi untuk pengawal kadaran dengan nilai K ini.

Response Gelung Tutup

Untuk mengesahkan step response, anda perlu mengetahui rangkap pindah (transfer function)  gelung tutup. Anda boleh mengira ini menggunakan peraturan pengurangan gambarajah blok, atau biarkan MATLAB melakukannya untuk anda (tidak perlu memasukkan nilai untuk K jika arahan rlocfind digunakan):

K = 350;
sys_cl = feedback(K*sys,1)
sys_cl =
 
                350 s + 2450
   ---------------------------------------------------
   s^4 + 40 s^3 + 475 s^2 + 1850 s + 2450
 
Continuous-time transfer function.


Dua hujah kepada suapbalik fungsi ialah rangkap pindah (transfer function) dalam laluan hadapan dan rangkap pindah (transfer function)  dalam laluan suapbalik sistem gelung buka. Dalam kes ini, sistem kami ialah suapbalik unity.

Jika anda mempunyai situasi suapbalik bukan unity, lihat fail bantuan untuk suapbalik fungsi MATLAB, yang menunjukkan cara mencari  rangkap pindah (transfer function) gelung tutup dengan gandaan dalam laluan suapbalik.

Menyemak step response sistem gelung tutup dengan nilai pilihan K:

step(sys_cl)


Seperti yang kami jangkakan, response ini mempunyai overshoot kurang daripada 5% dan rise time kurang daripada 1 saat.


Menggunakan Designer Sistem Kawalan untuk Reka Bentuk  Root Locus

Satu lagi cara untuk melengkapkan perkara yang telah dilakukan di atas ialah menggunakan Control System Designer tool interaktif dalam MATLAB. Menggunakan model yang sama seperti di atas, kita mula-mula mentakrifkan plant, H(s).

s = tf('s');
plant = (s + 7)/(s*(s + 5)*(s + 15)*(s + 20));

The controlSystemDesigner function can be used for analysis and design. In this case, we will focus on using the root locus as the design method to improve the step response of the closed-loop system. To begin, type the following into the MATLAB command window:
Fungsi controlSystemDesigner boleh digunakan untuk analisis dan reka bentuk. Dalam kes ini, kita akan menumpukan pada menggunakan root locus sebagai kaedah reka bentuk untuk meningkatkan tindak balas langkah sistem gelung tutup. Untuk memulakan, taip yang berikut ke dalam window arahan MATLAB:

controlSystemDesigner(plant)

Window berikut akan muncul. Anda juga boleh melancarkan GUI dengan pergi ke tab APPS dan mengklik ikon aplikasi di bawah Reka Bentuk dan Analisis Sistem Kawalan. Di sini anda boleh melihat plot lokus akar, bersama-sama dengan plot Bode gelung terbuka, dan plot tindak balas langkah gelung tutup untuk plant yang diberikan dalam unity feedback dengan default controller  K = 1.



bersambung...

Rujukan:
https://ctms.engin.umich.edu/CTMS/index.php?example=Introduction&section=ControlRootLocus

....
-

No comments:

Post a Comment

Subscribe to: Post Comments (Atom)